Beweis Alle endlichen Mengen, auch ;sind natürlicherweise beschränkt. Damit ist Ur(x) E und somit x 2E ein innerer Punkt von E.

Beweis. Dann ist x 62X nE und somit kein Häufungspunkt dieser Menge. (2.2) Satz Jede kompakte Menge ist abgeschlossen und beschränkt. “(=” Sei X nE abgeschlossen und x 2E beliebig. \( K \) ist beschränkt und abgeschlossen und die Grundmenge ist ein … Bei der ersten Aussage gibt es nichts zu zeigen. GRUNDLEGENDE KONSTRUKTIONEN 83 aus dem ¨ublichen logischen Trick, da es in ∅ kein x0 gibt, ist jede Aussage uber ¨ ein solches x0 wahr. 7.

Fur den Rn gibt es nicht nur die im letzten Beispiel angegebene Metrik, sondern viele mehr. Damit ist \( [1,2] \cap A \) kompakt.

Eine Menge E X ist genau dann offen, wenn ihr Komplement X nE abgeschlossen in X ist. Folglich ist eine Menge beschränkt, wenn sie in einem endlichen Intervall liegt. Versuchen Sie einen einfacheren Beweis zu nden. Abgeschlossen sind sie, weil jede Folge in einer dieser Mengen wenigstens einen Wert unendlich oft treffen muss. Beispiel 4 (lp-Metrik). 1.1 Beweis 1 Die Menge Xist als endliche ereinigungV der abgeschlossenen Mengen [1;2] und [4;5] wieder abgeschlossen. Beweise für Supremum und Infimum finden: Überlege dir auf einem Schmierblatt den Beweis dafür, dass die gefundene Zahl ein Supremum oder ein Infimum ist. Beweis. 1.2 Beweis 2 Sei S i2I O ieine o ene Überdeckung von X= [1;2][[4;5]. Da jede Folge in einer endlichen Menge diese Bedingung erfüllt sind alle endlichen Mengen (speziell die leere Menge) kompakt. Das heißt, es existiert eine Umgebung Ur(x) mit Ur(x) T (X nE) = ;. Da damit Xeine abgeschlossene eilmengeT einer kompakten Mengen ist, ist Xkompakt. Wir kommen zur dritten Aussage: ist S eine Menge offener Mengen, und x0 in der Vereinigung all dieser Mengen.

Auÿerdem ist [1;2] und [4;5] eilmeTngen der kompakten Menge [1;5], so dass auch Xeine eilmengeT von [1;5] ist. Dann ist die Menge \( [1,2] \cap A \) eine abgeschlossene Menge (als Schnitt zweier abgeschlossener Mengen) und eine Teilmenge der kompakten Menge \( [1,2] \). Zum Beispiel fur p 1 die sogenannte lp-Metrik: dp(x;y) := p qX jx i y ijp F ur p= 1 k onnen Sie die Dreiecksungleichung selbst beweisen, f ur p>1 ist das etwas komplizierter. Folglich ist eine Menge beschränkt, wenn sie in einem endlichen Intervall liegt. 4.1. Analog schaue, ob die Menge nach unten beschränkt ist oder nicht, und überlege dir gegebenenfalls, welche Zahl das Infimum sein könnte. Die zweite Aussage folgt. Die Menge heißt beschränkt, wenn sie nach oben beschränkt und nach unten beschränkt ist.

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