Ist z.B. immer diese Topologie (es sei denn etwas anderes wird ausdr¨ucklich gesagt). Verallgemeinerungen und Spezialisierungen.

Wir bezeichnen diese Topologie als die von der Me-trik dinduzierte Topologie. 2.26(iii)). Bsp. Wir m ussen die Eigenschaften (i), (ii), (iii) einer Topologie … Zeige, dass die im Bsp. eine Topologie auf Xde niert.

(von der Metrik induzierte|vgl. Auf R wird die naturliche Topologie von der Metrik¨ Standardtopologie ist Topologie die von der euklidischen Metrik induziert ist, d.h. Menge U ist in metrischen Raum (X,d) offen genau dann, wenn für jeden x aus U ein epsilon >0 gibt sodass \(B_\epsilon(x)\subset U \). (e)). \quoteoff Die von der (Pseudo-)Metrik induzierte Topologie ist die Topologie, die aus den bezüglich der (Pseudo-)Metrik offenen Mengen besteht (also Mengen, in denen jeder Punkt eine umgebende $\varepsilon$-Kugel besitzt, die in der Menge enthalten ist). Aufgabe 1.4. Vo. Beweis. Bez¨uglich dieser Topologie ist die Kugel B(x,ε) offen (Ubungsaufgabe).¨ Verschiedene Metriken k¨onnen diesselbe Topologie erzeugen (d.h. also zu denselben offenen Mengen f¨uhren). 2.4(i)) Topologie sind. Mach dir klar, dass diese Definition tatsächlich eine Topologie ist. Niemytzki-Raum (vgl. Die natürliche Topologie des ℝ n ist beispielsweise die von der euklidischen Metrik induzierte, für den Körper ℚ p der p-adischen Zahlen ist es die durch die p-adische Bewertung induzierte. 21. Falls nicht anders angegeben, werden wir auf metrischen R aumen stets diese von der Metrik induzierte Topologie verwenden. 2mit der ub¨ lichen Metrik und ,dann ist die auf induzierte Metrik die diskreteMetrik (vgl. (Ganz kurze) Einfuhrung in die Topologie¨ ... hier also bei der Restriktion der Metrik von R auf die (ebenso vom gew¨ohnlichen Betrag induzierten) Metrik auf Q. Vorsicht: Die rationalen Zahlen > 0 und < 1 bilden eine offene Menge in Q, aber nat¨urlich nicht in R, es kommt also sehr darauf induzierten Metrik versehen. Die offenen Kugeln in einem metrischen Raum erzeugen (als Basis) eine Topologie, die von der Metrik induzierte Topologie. die von der im folgenden beschriebenen Metrik d induzierte Topologie auf dem Raum D = D[0, 1] der auf dem Intervall [0, 1] definierten rechtsseitig stetigen…

Vo.

Erzeugte Topologie.

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